1 求解器在算什么
结构静力分析要回答三个问题：结构变形了多少（位移）、支座承受了多大的力（反力）、每根杆件的内力分布（轴力 N、剪力 V、弯矩 M）。 在线求解器把这套计算搬进了浏览器：你在画布上绘制平面梁、刚架、桁架，程序把结构离散成节点和杆件（单元）， 用矩阵位移法（直接刚度法）一次性解出全部结果。
它建立在几个经典假定上，和结构力学教材完全一致：线弹性材料（胡克定律）、小变形（几何方程线性化）、 一阶分析（不考虑轴力对弯矩的二阶效应）、杆件为直杆、等截面（Euler–Bernoulli 梁：平截面假定、忽略剪切变形）。
单元的场变量是节点自由度：平面内每个节点 3 个自由度 —— 水平位移 u、竖向位移 v、转角 θ。
一个节点连接若干杆件，结构的总自由度就是 3 × 节点数。
2 五步总览：直接刚度法
“直接刚度法”这个名字来自它的组装方式：把每个单元在自身局部坐标系里的刚度矩阵，逐个“直接”叠加进整体刚度矩阵。整个过程固定为五步：
- 单元分析 —— 对每根杆件，在局部坐标系写出 6×6 单元刚度矩阵 k（材料 E、截面 A、I 与长度 L 决定）。
- 坐标变换 —— 每根杆件有自己的倾角，用转换矩阵 T 把 k 旋转到整体坐标系：Ke = Tᵀ k T。
- 整体组装 —— 按节点自由度编号，把所有 Ke 叠加进整体刚度矩阵 K，荷载叠加成向量 P，得到整体刚度方程 K·D = P。
- 引入边界条件 —— 处理支座约束（固端、铰支、辊轴、定向）与支座沉降，划出可自由变形的自由度。
- 求解与后处理 —— 解线性方程组得到节点位移 D；再回代求支座反力与每根杆件的杆端力，进而恢复 N/V/M 内力图与变形曲线。
一句话理解：结构像一个由许多弹簧（单元）连成的网络。整体刚度矩阵 K 就是这个网络的“总弹簧系数表”， P 是外力，解出 D 是位移；反力与内力都是位移的子产品。矩阵位移法与手算“位移法”思想相同，只是把查表、列方程、回代全部矩阵化，交给计算机完成。
3 单元分析：单元刚度矩阵
3.1 平面梁单元（6 个自由度）
平面梁单元两端各 3 个自由度，共 6 个。局部坐标系取杆轴为 x′ 轴，局部杆端位移记为 d = [u₁, v₁, θ₁, u₂, v₂, θ₂]ᵀ。把它两端的位移与力联系起来的，就是下面的 6×6 单元刚度矩阵 k（k·d = f），每一行/列对应一个自由度：
| k | u₁ | v₁ | θ₁ | u₂ | v₂ | θ₂ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| u₁ | EA/L | 0 | 0 | −EA/L | 0 | 0 |
| v₁ | 0 | 12EI/L³ | 6EI/L² | 0 | −12EI/L³ | 6EI/L² |
| θ₁ | 0 | 6EI/L² | 4EI/L | 0 | −6EI/L² | 2EI/L |
| u₂ | −EA/L | 0 | 0 | EA/L | 0 | 0 |
| v₂ | 0 | −12EI/L³ | −6EI/L² | 0 | 12EI/L³ | −6EI/L² |
| θ₂ | 0 | 6EI/L² | 2EI/L | 0 | −6EI/L² | 4EI/L |
矩阵分四块理解会容易得多：左上/右下是轴向项（EA/L，拉压弹簧）；中间 4×4 是弯曲项（12EI/L³、6EI/L²、4EI/L、2EI/L，即“两端同时发生单位竖向位移 / 单位转角所需的力”）；还有一个规律： 对角元恒为正、矩阵对称（kij = kji，功的互等定理的体现）。
3.2 桁架杆单元（2 个自由度）
桁架杆只传递轴力，两端铰接、不传递弯矩，局部刚度矩阵只剩轴向部分：
k = EAL · [ 1 −1 ; −1 1 ] （对应两端轴向位移）
在本求解器里，桁架杆还可以和梁单元混用：刚架加斜撑、排架带支撑都直接支持，程序按单元类型分别组装。
4 坐标变换：从局部到整体
单元刚度矩阵是在“沿杆轴”的局部坐标系里写的，但结构里的杆件方向各不相同，必须统一到整体坐标系（水平 x、竖直 y）。 设杆轴与整体 x 轴的夹角为 α（c = cos α，s = sin α），把整体杆端位移旋转到局部，用的转换矩阵是：
d局部 = T · d整体， T = diag(R, 1, R, 1)，R = [ c s ; −s c ]
把它代入局部刚度关系 k·d局部 = f局部，两边同乘 Tᵀ 得到整体坐标系下的单元刚度矩阵：
Ke = Tᵀ · k · T
为什么这样做？力与位移都是矢量，旋转坐标系时它们按同一规则旋转；刚度矩阵作相似变换后， 它仍然满足“对称、正定、刚体位移不产生内力”这些物理性质。斜杆、斜柱、斜撑全都靠这一步统一进来。
5 整体组装：K·D = P
给每个节点的自由度编号（第 i 节点对应 3i、3i+1、3i+2 号自由度），然后遍历所有单元，把 Ke 的 6×6 元素“对号入座”累加进整体刚度矩阵 K 的对应位置，同时把每个单元的等效节点荷载累加进 P：
Kab ← Kab + Kepq， Pa ← Pa + fep
共享节点（比如连续梁的中间支座、刚架的梁柱节点）处，相邻单元的刚度与荷载会自动叠加——这就是“节点连接”在矩阵层面的含义， 也是该方法被称为“直接刚度法”的原因：不需要像力法那样选基本体系、列协调方程，直接堆叠即可。
规模感：虽然 K 是 3N × 3N 的方阵，但绝大多数元素为零（一个节点只与相连杆件耦合）。
本求解器按“非零才写”的方式组装，几百个节点的模型也是毫秒级完成。
6 等效节点荷载：把跨内荷载搬到节点
矩阵位移法只认识“节点荷载”。跨内作用的均布荷载（比如梁上的线荷载）必须先转换成等效节点荷载—— 按能量等价（虚功原理）：feq = ∫ Nᵀ q ds，N 是形函数。对满跨均布荷载，结果就是教科书上的固端力： 两端各分担 qL/2 的剪力，两端固端弯矩 ±qL²/12（符号随杆端方向约定）。
求解器内部按“一致荷载向量”实现（分布在 6 个自由度上的等价节点力），因此无论杆件斜置、还是按局部轴向加载， 等效都严格成立。求解完成后，这些等效荷载会与杆端力一起“还原”成真实的跨内内力与挠度，不会留在结构里。
易混点：本工具里均布荷载 q 按杆件实际长度取值（总荷载 = q × 杆长）。 斜屋面上的竖向荷载若习惯按水平投影取值，请先换算（q沿杆 = q投影 × cos α），再输入。
7 支座约束与支座沉降
支座在矩阵层面就是“把某些自由度固定为已知值”。本求解器支持四类支座及其组合：
- 固定端：约束 u、v、θ 全部 3 个自由度，符号为垂直于杆轴的墙 + 斜毛刺；
- 铰支座：约束 u、v（不约束转动）；
- 辊轴支座：只约束一个平动方向（竖向或水平），符号为三角形 + 滚圆；
- 链杆支座（竖杆式）：同样只约束一个平动方向，画法为教科书常见的「节点—竖杆—下端铰—地面」，与辊轴力学含义相同、只是表达方式不同；
- 定向支座：约束转动 + 一个平动方向。
处理方式是经典的分块法：把自由度分成“自由”与“约束”两组，方程 K·D = P 分块写成 Kff·Df = Pf − Kfc·Dc， 只对自由自由度求解。右侧的 Kfc·Dc 正是支座沉降的入口：支座位移不为零时，它会像外力一样驱动结构产生内力 （这正是“不均匀沉降引起附加内力”的数学根源）。
还有一个细节：如果某个自由度的刚度全为零（例如两端都是铰的杆件端部转角、或者悬空节点），整体方程会奇异。 求解器会自动识别并约束这类“零刚度自由度”，保证方程可解，同时不改变结构的受力。
8 解方程与支座反力
线性方程组用带主元选取的高斯消元求解（规模：自由度数 = 3×节点数 − 约束数）。得到全部节点位移 D 后，支座反力由整体平衡回代：
R = K·D − P作用于支座自由度
每个支座自由度上的“不平衡力”就是反力——这也是程序自带校核的基础。求解器每次计算都会做整体平衡校核：
ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0（含全部外荷载与支座反力），并在结果面板给出相对残差。
正常情况下残差在 1e-12 量级，说明解是干净的；若模型有机构（约束不足），会直接给出“哪个节点哪个方向无法平衡”的报错，而不是输出可疑结果。
9 杆端力与内力图（N / V / M）
节点位移只是“半成品”。对每根杆件，先由整体位移算出杆端位移，转换到局部坐标系，再用单元刚度矩阵算杆端力， 最后叠加跨内荷载的贡献，沿杆长积分恢复内力：
N(s) = Ni − qx·s V(s) = Vi − qy·s M(s) = Mi + Vi·s − ½ qy·s²
也就是说：轴力沿杆按轴向荷载线性变化；剪力是常数（无分布荷载时）或线性（有分布荷载时）； 弯矩对 s 积分一次是剪力、两次是弯矩，均布荷载下弯矩图因此是二次抛物线。集中荷载只作用在节点上， 所以每根无跨内集中力的杆件内力图都是精确的（同一直线/抛物线），绘图用 21 个采样点描线，极值点解析求出、不靠肉眼估计。
工具输出的约定（与结构工程制图习惯一致）：
- 弯矩图画在受拉侧，正负号仍按材料力学规则；
- 剪力图按局部 +y′ 侧绘制，正剪力画在上侧；
- 轴力图受拉为正；每根杆上直接标注极值及其位置（x = … 或 s = …）。
10 杆端铰的处理：静力凝聚
梁端带铰（不传递弯矩）的杆件，不能简单地把刚度矩阵里转角那行删掉——那会同时丢掉另一端的转动约束。 正确做法是静力凝聚：把自由度分成“要释放的”与“保留的”，消去被释放的自由度：
k* = kaa − kar·krr−1·kra， f* = fa − kar·krr−1·fr
这样该端弯矩自动为零、而另一端刚度完好无损。反过来，求解完成后被释放端的转角再由 krr·dr = fr − kra·da 回代，用于画变形曲线。 本求解器支持两端分别设置铰（单端铰、两端铰、连续梁带铰跨越等情形），三铰刚架、带铰连续梁都能算。
11 变形曲线怎么画
杆件的挠度曲线由两部分叠加：两端节点位移/转角引起的 Hermite 三次插值，加上跨内均布荷载的特解：
v(s) = N₁(s)·vi + N₂(s)·θi + N₃(s)·vj + N₄(s)·θj + qy · s²(L−s)²24 EI
对“节点荷载 + 满跨均布荷载”组合，这个表达式是解析精确的（Euler–Bernoulli 梁在均布荷载下挠度是四次多项式）。 所以简支梁一次跨中挠度可以直接对到闭式解 5qL⁴/384EI，不需要剖分网格。 变形图把最大位移放大成整数倍显示，放大倍率在图上标出；“最大位移”统计的是整个结构所有杆件跨内的最大挠度， 不是只有节点位移。
为什么强调这点？简支梁两端节点都在支座上、节点位移为 0，但跨中挠度不为 0 —— 如果只看节点位移会误判“没有变形”。 内力图与变形图都应当以“跨内”为准。
12 精度、验证与适用范围
直接刚度法对线弹性小变形问题是精确解（误差只来自浮点数运算）。为了证明实现无误，本求解器内核用 Node 脚本对拍了 14 组教科书闭式解，覆盖：
| 验证项 | 闭式解 | 实测误差 |
|---|---|---|
| 简支梁 · 满跨均布 | 跨中 M = qL²/8，挠度 5qL⁴/384EI | < 1e-12 |
| 悬臂梁 · 端部集中力 | M = −PL，挠度 PL³/3EI，转角 PL²/2EI | < 1e-12 |
| 两端固定梁 · 满跨均布 | 端弯矩 ∓qL²/12，跨中 +qL²/24 | < 1e-12 |
| 一端固定一端铰 · 均布 | R固 = 5qL/8，R铰 = 3qL/8 | < 1e-12 |
| 两跨连续梁 · 均布 | 中支座 M = −qL²/8，R = 3qL/8 / 10qL/8 | < 1e-12 |
| 三铰刚架 · 顶部竖载 | 水平推力 H = PL/4h | < 1e-12 |
| 两杆桁架 · 顶点竖载 | N = −P/(2sinθ) | < 1e-12 |
| 支座沉降 · 内力校核 | 刚体位移、内力恒为 0 | < 1e-15 |
适用：平面杆系（梁、刚架、排架、桁架、混合结构），线弹性静力分析，节点位移/反力/内力/变形。
暂不包含：二阶效应（P-Δ / 压杆稳定）、材料非线性、动力与地震反应、温度作用、支座弹簧、跨内集中力（可将其放在节点上实现）、三维结构。 这些超出“平面线弹性静力分析”的范围，正式设计请按现行规范配合专用程序复核。
13 常见问题（FAQ）
矩阵位移法（直接刚度法）和力法、位移法是什么关系？
位移法以节点位移为基本未知量；矩阵位移法就是位移法的矩阵化、程序化版本。力法则以多余未知力为基本未知量。手算时位移法靠查表写杆端弯矩，矩阵位移法把单元刚度矩阵组装成整体刚度方程 K·D = P 直接求解，因此适合计算机实现，是一切杆系有限元程序的基础。
为什么简支梁两端支座处位移是 0，跨中却有挠度？
因为“节点位移”只描述节点处的位移。简支梁两个节点都落在支座上，节点竖向位移确实是 0；但杆件内部的挠度由两端位移与转角插值（Hermite 三次），再叠加跨内均布荷载的特解得到，跨中挠度 5qL⁴/384EI 正是这么算出来的。所以判断“有没有变形”要看跨内，不能只看节点位移表。
为什么弯矩图画在受拉侧？
这是结构工程的制图习惯：弯矩图纵坐标画在杆件受拉的一侧，可以一眼看出哪里受拉、纵向钢筋该配在哪一侧。本求解器默认按此约定绘制，正负号仍按材料力学规则给出；需要传统画法时可对照横坐标轴判读。
支座反力怎么校核？
用整体平衡：ΣFx = 0、ΣFy = 0、对任一点 ΣM = 0。求解器每次计算都会做整体平衡校核并给出残差，同时把反力箭头直接标在结构图上，可以和手算逐项对照。例如两跨连续梁满跨均布：边支座 3qL/8、中支座 10qL/8，一眼可验。
能算连续梁、门式刚架、桁架、三铰刚架吗？
能。只要是由梁单元和桁架杆单元组成的平面杆系结构都可以：多跨连续梁、门式刚架、排架、桁架、组合结构、带杆端铰的杆件都支持。求解器内置 15 个标准算例，可一键载入对照：基本梁系（简支梁、悬臂梁、固端梁、一端固定一端铰、两跨连续梁）、桁架与刚架（两杆桁架、三铰刚架、门式刚架、双跨刚架带斜撑），以及教材经典算例——三铰拱（带拉杆，拉杆轴力 H=M°c/f）、两跨静定梁（与连续梁对照：30/60/30 vs 18.75/62.5/18.75）、平行弦桁架、两铰刚架（一次超静定）、外伸梁（支座负反力）。
均布荷载按杆长还是水平投影计算？
本工具按杆件实际长度计算：总荷载 = q × 杆长。斜杆上的竖向均布荷载若习惯按水平投影取值（如屋面荷载），请先换算再输入。
计算精度怎么样？和 SAP2000、MIDAS 比有差别吗？
对线弹性、小变形的平面杆系结构，直接刚度法给出的是精确解（数值误差在 1e-12 量级），与主流有限元软件在相同模型下结果一致——内核已用 14 组教科书闭式解逐项对拍。差别主要在功能范围：不含二阶效应、材料非线性、动力与屈曲分析。
模型数据会上传服务器吗？
不会。求解器全部在前端本地计算（纯 JavaScript），模型数据不上传任何服务器，也不需要注册登录；绘图、求解、导出计算书都在你的浏览器里完成，可放心用于工程算例。离线时（页面已加载后）也能继续计算。
开始使用
理解原理之后，回到工具里动手试试：画一根简支梁，加上均布荷载，对照本文第 3、6、9 节看弯矩图与挠度是怎么来的； 再把支座改成固定端，观察 ±qL²/12 的固端弯矩出现在图上。
本文由「行恒简安 · 结构在线计算工具箱」维护；求解器依据《结构力学》教材（位移法 / 矩阵位移法章节）的经典理论实现， 适用于线弹性、小变形、一阶静力分析的平面杆系结构。正式设计成果请按现行规范复核。