地下室外墙计算 · 内力计算依据

1 计算模型与基本假定

1.1 取 1 m 宽竖向板条

地下室外墙承受垂直于墙面的侧向水土压力，属出平面受弯（板类构件）。工程上通行的做法是沿墙长方向取单位宽度（b = 1000 mm）的竖向板条，把它当作一根竖向梁来计算，两个方向分别配筋：

• 竖向钢筋：按本页算出的竖向弯矩 M(z) 配置，是主要受力钢筋（受拉侧通常在外排）；
• 水平钢筋：按受弯构件构造要求（并参考 JGJ 3-2010 第 12.2.5 条：双层双向、间距不宜大于 150 mm、配筋率不宜小于 0.3%）配置。

1.2 荷载与组合

竖向板条上的侧向荷载（自墙顶向下、深度 z 处）：

• 土压力（静止土压力）：e_s(z) = K·[ γ·max(0, min(z, d_w′) − g) + γ′·max(0, z − d_w′) ]，γ′ = γ_sat − γ_w（水土分算）；水土合算时水位以下用 γ_sat 且不计水压。
• 静水压力：e_w(z) = γ_w·max(0, z − d_w′)。
• 地面活载等效侧压：e_q = K·q（自地面标高起算）。
• 墙顶上部竖向荷载：只用于「压弯（偏心受压）」验算，不参与竖向弯矩计算（见说明书 4.4 节）。

两种组合：平时（基本）组合 p(z) = γ_se_s + γ_we_w + γ_qe_q（默认 1.3 / 1.3 / 1.5），准永久组合 p_q(z)（默认 1.0 / 0.5 / 0.5，用于裂缝与准永久工况）。内力、配筋按平时组合，裂缝按准永久组合。

1.3 支座假定

1.4 与配筋、裂缝的关系

本页只负责「内力」；得到 M(z)、V(z) 后：正截面配筋按 GB 50010-2010 第 6.2 节（矩形应力图、ξ ≤ ξ_b、超筋转双筋）、裂缝按第 7.1 节、斜截面受剪按第 6.3 节。截面按「单筋受弯」设计，竖向轴力只做一项校核、不参与配筋（详见说明书 4.4 节；受压侧钢筋不计入正截面承载力）。

2 支座假定与计算简图的出处

先说结论：规范不指定你必须用哪种内力算法。GB 50010-2010 第 5 章「结构分析」管的是"模型要符合实际、简化要有依据、结果要经校核"，具体用什么方法是设计人选的。相关条文：

那么"下端嵌固、中间楼板连续铰支座、顶板铰接"这套简图本身从哪来？它是行业长期沿用的通行做法，见下列文献（本工具与之完全一致）：

• 程懋堃 等《建筑结构专业技术措施》（2008，中国建筑工业出版社）：地下室外墙按竖向连续梁/单向板计算，底部嵌固、顶板铰接；
• 朱炳寅《民用建筑工程设计常见问题分析及图示》（2005）：外墙顶部按铰接考虑（首层底板平面外刚度很小），中间层按连续铰支座；
• 李国胜《多高层建筑基础及地下室结构设计（附实例）》：多层地下室外墙按竖向连续梁计算，底部固定、顶边简支；
• 行业文章一致表述：「外墙顶部应按铰接考虑，地下室中间层可按连续铰支座考虑。这样，地下室外墙就如同下端嵌固、上端铰支的连续梁」。

3 算法一：连续梁位移法（默认）

把整片墙当作一根竖向连续梁，用结构力学的位移法（矩阵位移法 / 刚度法）一次求解全墙。这是三种算法里唯一的弹性精确解（在给定简图与刚度假定下的精确解）。

3.1 离散与自由度

• 节点：墙顶、各层楼板标高、墙底，共 (层数 + 1) 个节点；
• 单元：每层一个竖向梁单元，长度 = 该层层高 h_i，截面 b×t_i（b = 1000 mm，t 为该层墙厚）；
• 单元自由度：两端各 2 个——竖向位移 v、转角 θ（梁单元，不计轴向）；
• 边界：墙顶按用户选择（简支 ⇒ v = 0、θ 自由；自由 ⇒ 都不约束）；楼板与墙底 ⇒ v = 0、θ 自由。⇒ 未知量只剩各节点的转角 θ，方程规模 = 节点数 − 1。

3.2 单元刚度矩阵与等效节点荷载

等截面梁单元（长 l、抗弯刚度 EI）的 4×4 刚度矩阵（自由度顺序 v₁、θ₁、v₂、θ₂），乘 EI/l³：

分布荷载 p(z) 用 Hermite 三次形函数 N(x) 等效到节点：{F}^e = ∫₀^l N^T(x)·p(x) dx。均布 p 时为 [ pl/2, pl²/12, pl/2, −pl²/12 ]^T；本工具的侧压力是沿墙高线性变化的（水位、土层、活载决定），因此按单元内分段积分求等效节点荷载，而不是套均布公式。

组装后解线性方程组：

[K]{u} = {F}

其中 [K] 为总体刚度矩阵（楼板处 v 被约束后只保留 θ 自由度），{u} 为节点转角向量。

3.3 内力求法与连续性

解出节点位移后，代回单元端力（端弯矩 M₁、M₂ 与端剪力 V₁、V₂），再由单元内的解析式得任意深度内力：

M(x) = M₀(x) + M₁ + (M₂ − M₁)·x / l   V(x) = V₀(x) − (M₁ − M₂) / l

式中 M₀(x)、V₀(x) 为该跨在简支条件下的内力（由实际分布荷载积分得到）。这条叠加关系对下面三种算法同样适用，是本工具修正支座弯矩后仍能保持"三个控制截面与内力曲线自洽"的原因。

3.4 依据、适用与误差

• 依据：GB 50010-2010 第 5.3.3 条（弹性分析宜采用结构力学方法）；位移法/矩阵位移法见结构力学教材（如 龙驭球、包世华《结构力学》或 李廉锟《结构力学》的「位移法 / 矩阵位移法」章）。
• 适用：新工程首选。层高不均、层数较多时，它比"单块板法"更接近实际受力（考虑上下层连续性）。跨中控制截面取层内正弯矩极值点（V = 0 处），即该层弯矩分布的真实最大值——不采用「跨中 = 层中点」的近似，属偏安全取值（这是本工具自有算法与理正两档的主要差别之一）。
• 误差来源：① 把楼板当刚性不动铰——若楼板很薄或开大洞，实际更接近铰接；楼板很厚时接近固接，本模型偏保守或偏不安全取决于方向；② 未考虑墙体开裂后刚度折减与楼板平面外转动刚度；③ 未考虑扶壁柱、坡道、转角墙等局部支座效应（这些会让局部出现负弯矩，需另行加强）。

4 算法二：单块板法（理正）

逐层取出单块板独立求解：底端固定于基础、中间层上下端均固定、最上层顶边按用户设定（简支 / 自由），算出本层的固端弯矩与跨中弯矩即可，层与层之间不传递弯矩。这正是理正软件「竖向弯矩计算方法 = 单块板」的口径（该选项下竖向与横向均按单块板计算表格取值）。可选再叠加理正手册 2.3.3-1 的「支座调平」（按板块竖向线刚度使相邻板块连接处弯矩相等），见 4.4 节。

4.1 单块板的固端弯矩（荷载表格值）

本工具的侧压力沿高变化，程序按单元内实测荷载积分求固端弯矩与跨中弯矩，与《建筑结构静力计算手册》的两端固定单跨梁公式一致。

4.2 层间不传力的后果

• 楼板处支座弯矩偏大：得不到上下层连续性的折减。实测（默认参数）：层高接近时与位移法差 < 8%；层高相差大时明显放大——2 层 4 m / 5 m 时楼板处支座弯矩约 +36%，顶层跨中 34 → 75 kN·m/m（2 倍以上）。
• 同一楼板上下两层的支座弯矩不相等（同例：−161 与 −330 kN·m/m）。因为两块板各自独立取固端弯矩，不满足楼板处的变形协调。实配时该处宜取两者较大值，或换用连续梁法 / 位移法复核。

4.3 依据

• GB 50010-2010 第 5.1.3 条：近似假定与简化应有理论、试验依据或经工程实践验证（单块板查表法属"经工程实践验证"的简化）；
• 软件口径：理正结构设计工具箱 / 理正 CAD 云「地下室外墙」模块，「竖向弯矩计算方法」= 单块板；横向按实际情况用板计算表格；
• 公式来源：《建筑结构静力计算手册》两端固定单跨梁的固端弯矩与跨中弯矩表。

4.4 理正软件对应口径（官方手册原文摘录）

下面的引文摘自理正结构设计工具箱内置帮助《多层地下室外墙》—「2 多层地下室外墙 技术条件」，即手册中2.1 编制说明、2.2.4 荷载的简化分解、2.3 内力计算三节（本节只摘与"竖向弯矩按单块板"相关的部分，调幅见 5.3 节）：

5 算法三：连续梁法（理正，含支座弯矩调幅）

与「连续梁位移法」同一模型（楼板与基础处约束竖向位移、转角自由），区别在于求得弹性内力后，对楼板支座与基底处的负弯矩按调幅系数 β 调幅，跨中弯矩按静力平衡相应增大。这是理正软件「竖向弯矩计算方法 = 连续梁」并设置「支座弯矩调幅幅度（默认 20%）」时的口径。

5.1 调幅的力学含义与公式

调幅（弯矩调幅 / 塑性内力重分布）的物理含义：连续梁在支座截面出现塑性铰后，支座弯矩不再增长而转动增大，支座弯矩下降、跨中弯矩上升，内力沿全长重新分配；对结构的要求是支座与跨中都要有足够转动能力与延性，并使跨中承载力相应提高——所以调幅必须保持静力平衡，不能只减支座不管跨中。

本工具按下列关系调幅（仅对负弯矩，即 M < 0 的支座）：

M_支′ = β · M_支   M_跨中′ = M_跨中 + (1 − β) · ( |M_左支| + |M_右支| ) / 2

推导：由 3.3 节的叠加关系，跨中弯矩与两端弯矩满足 M_跨中 = M₀ + (M_左支 + M_右支)/2（M₀ 为简支解）。两端弯矩各变动 ΔM_左、ΔM_右 时，跨中随之变动 (ΔM_左 + ΔM_右)/2。对负弯矩取 M′ = βM，得 ΔM = (β − 1)M = (1 − β)|M|，代入即得上式。同时按同一关系修正剪力：V′ = V₀ − (M_左支′ − M_右支′)/l。

工具只对楼板支座与基底的负弯矩调幅；墙顶（简支时 M = 0；悬臂时顶部 M = 0）无负弯矩可调。准永久组合（用于裂缝）与平时组合用同一个 β，保证承载力与裂缝口径一致。

5.2 β 的取值范围与规范限制

5.3 理正软件对应口径（官方手册原文摘录）

以下摘自理正《多层地下室外墙 技术条件》2.3.3 弯矩调整（或调幅）一节，原文分两部分：① 单块板模型下的"弯矩调整"（见 4.4 节），② 连续梁模型下的"弯矩调幅"——即本节：

本工具的「连续梁法（理正）」逐条对齐了这套规则：

公开的复算实例（李国胜《多高层建筑基础及地下室结构设计》例 4-4，用理正 CAD 云 / 结构工具箱复现）也记录了同一套参数口径：「竖向弯矩计算方法按连续梁考虑，支座弯矩调幅幅度按 20%（即调幅系数按 0.8 考虑）」；并与"理正连续梁及 SAP2000"对比确认无误（见 4.4 节的映射表）。

6 算法四：包络取大

把上面三种算法各算一遍，对每个控制截面（各层顶 / 底及层内弯矩极值点）的弯矩 M 与剪力 V（平时组合、准永久组合各一份）分别取 |值| 较大者作为设计内力：

M_包络(z_i) = max( |M_位移法(z_i)|, |M_单块板(z_i)|, |M_{连续梁(理正)}(z_i)| )，符号随主导算法

内力曲线按逐点包络绘制：在任意深度 z 取各算法 |M(z)| 的最大值，符号取主导算法。若两条曲线交叉，在交叉点两者取值相同，故包络曲线仍然连续。依据：GB 50010-2010 第 5.1.5 条（可选择不同分析方法）、第 5.1.6 条（应对分析结果进行判断和校核）——取包络是对"分析结果不确定"的保守处理。

配筋、裂缝、抗剪全部以包络后的内力为输入，因此各算法的偏差不会漏算，代价是用钢量必然 ≥ 任何单一算法。计算书第 3.2 节会逐控制截面列出该处内力来自哪种算法（位移法 / 单块板 / 连续梁(理正)），便于判断控制因素。

7 内力自校核（可动手核对）

工具与计算书都内置了下面两道校核，任何一组参数都可以自己验一遍：

1. 竖向力平衡：墙底剪力与墙顶剪力之差应等于侧压力的合力。默认算例：|V_顶| + |V_底| = 219.20 + 629.67 = 848.87 kN/m，与侧压力合力 (37.62 + 188.75)/2 × 7.5 = 848.9 kN/m 相符 ✓（计算书第 3 节给出该式）。
2. V = 0 处即弯矩极值：剪力图与弯矩图的对应关系——图形上标注 ◇（V = 0）与 ○（层内弯矩极值）应重合；默认算例 V = 0 出现在 z = 3.16 m，正是正弯矩极值 398.8 kN·m/m 的位置。
3. （单块板法适用）楼板处上下两层的支座弯矩会不相等，这不是算错，而是该算法的固有特征；如两者差异很大，说明该处连续性影响显著，建议改用连续梁法或包络取大。

8 依据与参考文献

8.1 规范与标准（条文级）

8.2 技术措施与专著

8.3 教材与手册（方法本身）

8.4 软件口径（对照用）

最后提醒：本页列出的文献是本工具算法与假定的出处，不代替设计人按工程实际情况（板厚、开洞、扶壁柱、坡道、转角墙、人防荷载等）选定计算简图并做补充验算。有争议的假定（尤其"楼板按不动铰"）请以工程判断为准。